Cadenas de Markov

Antes de empezar a ver que son las cadenas de Markov y como se utilizan es necesario que tengan claros estos conceptos:

1. Matematicos: suma de matrices - Matriz transpuesta e Inversa - Inversor Gauss-Jordan
2. Probabilidad: Teoría de probabilidad  

aquí un par de links donde puedes encontrar infomacion :

Suma de matrices

Matriz transpuesta e inversa

Inversor Gauss-Jordan 1era parte

Inversor Gauss-Jordan 2da Parte

Explicaremos un ejercicio básico de cadenas de Mkv para un fácil entendimiento 

En Barranquilla operan 3 empresas de telefonía celular MOVISTAR, TIGO , COMCEL, y actualmente cada una tiene una participación en el mercado de 30%, 30% y 40% respectivamente. Después de un estudio de mercados se obtuvo información de como es el comportamiento de los usuarios de estas compañias. 

El estudio revelo que el 30% de los clientes de Movistar permanecerían con la compañía el 50% pasarían a Tigo como su proveedor de telefonía celular y los demás se pasarían con Comcel. también revelo que de los usuarios de TIGO el 70% permanecieran con ellos, el 20% pasaría a Comcel y que el 10% estaría dispuesto a pasarse a Movistar. Por ultimo los usuarios que están con Comcel el 50% de estos permanecerían con la compañía, el 20% pasarían a Movistar y el 30% pasarían a Tigo.

Lo primero que debemos hacer es encontrar el porcentage de clientes que pertenecen a cada operador, este sera nuestro estado inicial.

         M     T     C

Po= (0.3  0.3  0.4)

luego debemos encontrar la Matriz de Transición, para esto debemos tomar la informacion que nos brinda el estudio de mercado.

                 M      T     C

          M   0.3   0.5   0.2

T=      T    0.1   0.7   0.2

          C   0.2    0.3   0.5

Notas importates.

1. Tanto la matriz de transición como la matriz de estado inicial deben estar expresadas en porcentaje
2. Todos los valores dentro de la Matriz de transición y estado inicial debe ser entre 0 y 1
3. La sumatoria de cada fila debe ser igual a 1

Ahora para saber cual podrá ser la participación de las empresas de telefonía celular en un periodo siguiente se debe multiplicar la matriz de transición por el estado inicial para un periodo inmediatamente siguiente al inicial.  

P1 = Po * Matriz de Transición

P1 = 0.2  0.48  0.32

P2 = P1 * T = Po * T * T = 0.172  0.532  0.296

P3 = P2 * T = Po * T * T * T = 0.164  0.5472  0.2888

Podemos concluir que 

P4 sera igual que Po * T * T * T * T que es igual a Po * (T^4)

generalizando, vemos que

Pn = Po * (T^n)

Si cambiamos Po  por Po =  0.6  0.2  0.2

P1= 0.24  0.5  0.26

P2= 0.134  0.548  0.278

P3= 0.1626  0.554  0.28

Nota: Podemos ver que los valores en estado estable son independientes de los valores del estado inicial.

VÍA MAS CORTA

Po = (x, y, z)

      0.3  0.5  0.2

T = 0.1  0.7  0.2

      0.2  0.3  0.5

0.3x + 0.1y + 0.2z = x

0.5x + 0.2y + 0.3z = y

0.2x + 0.3y + 0.5z = z

x + y + z = 1

Utilizando Excel 

Con el uso de Excel podemos simplificar la cadena de Markov en pocos pasos 

Pasos:

1. Encontramos el estado inicial
2. Armamos la matriz de transición
3. Multiplicamos las matrices con la función MMULT para esto hay que sombrear primero las celdas donde van a aparecer la matriz resultado y sombreamos las dos matrices a multiplicar divididas por punto y coma (;), luego de hacer esto cerramos con paréntesis y presionamos CTRL + SHIFT + ENTER, al tiempo y de esta manera veremos el resultado para un periodo 1
4. para los demás periodos solo hay que remplazar el estado inicial por el periodo 1 luego el 2 y así sucesivamente hasta encontrar el estado estable.

Paso 3 Ilustrado

Paso 4 Ilustrado

nota: podemos ver que se fijan las celdas de la matriz de transición.